高考二輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)不等式知識(shí)點(diǎn)
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考試內(nèi)容:
不等式。不等式的基本性質(zhì)。不等式的證明。不等式的解法。含絕對(duì)值的不等式。
考試要求:
。1)理解不等式的性質(zhì)及其證明。
【導(dǎo)讀】
不等式的性質(zhì)是不等式的理論支撐,其基礎(chǔ)性質(zhì)源于數(shù)的大小比較。要注意以下幾點(diǎn):
加強(qiáng)化歸意識(shí),把比較大小問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算;
通過復(fù)習(xí)強(qiáng)化不等式運(yùn)算的條件。如ab、才cd在什么條件下才能推出ac
強(qiáng)化函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用,加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系;
不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ),對(duì)任意兩實(shí)數(shù)a、b有a-bb,a-b=0 a=b,a-b0 a
一定要在理解的基礎(chǔ)上記準(zhǔn)、記熟不等式的`性質(zhì),并注意解題中靈活、準(zhǔn)確地加以應(yīng)用;
對(duì)兩個(gè)(或兩個(gè)以上)不等式同加(或同乘)時(shí)一定要注意不等式是否同向(且大于零);
對(duì)于含參問題的大小比較要注意分類討論。
。2)掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。
【導(dǎo)讀】
1、在證明不等式的各種方法中,作差比較法是一種最基本最重要的方法,它是利用不等式兩邊的差是正數(shù)還是負(fù)數(shù)來證明不等式,其應(yīng)用非常廣泛,一定要熟練掌握。
2、對(duì)于公式a+b 2ab,ab(a+b/2)2要理解它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系,兩個(gè)公式也體現(xiàn)了ab和a+b的轉(zhuǎn)化關(guān)系。
3、在應(yīng)用均值定理求最值時(shí),要把握定理成立的三個(gè)條件就是一正各項(xiàng)均為正;二定積或和為定值;三項(xiàng)等等號(hào)能否取得。若忽略了某個(gè)條件,就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。
(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明的簡(jiǎn)單不等式。
【導(dǎo)讀】
1、在證明不等式的過程中,分析法和綜合法是不能分離的,如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí),常用分析法探索證題途徑,之后用綜合法的形式寫出它的證明過程。有時(shí)問題證明難度較大,常使用分析綜合法,實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證明目的。
2、由于高考試題不會(huì)出現(xiàn)單一的不等式的證明題,常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起,所以在學(xué)習(xí)中,不等式的證明除常用的三種方法外,還有其他方法,比如比較大小。證明不等式的常用方法有:差、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、分析綜合法和放縮法。要能了解常見的放縮途徑,如:利用增或舍、分式性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性、有界性、基本不等式及絕對(duì)值不等式性質(zhì)和數(shù)學(xué)歸納法等。有時(shí)要先對(duì)不等式作等價(jià)變形再進(jìn)行證明,有時(shí)幾種證明方法綜合使用。
3、比較法有兩種形式:一是作差,而是作商。用作差法證明不等式是證明不等式中最基本、最常用的方法。它的依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)。步驟是:作差(商)變形判斷。變形的目的是為了判斷,若是作差,就判斷與0的大小關(guān)系,為了便于判斷,往往把形式變?yōu)榉e或完全平方式。若是作商,兩邊為正,就判斷與1的大小關(guān)系。
。4)掌握簡(jiǎn)單不等式的解法。
【導(dǎo)讀】
1、解不等式的過程,實(shí)質(zhì)上是不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化過程。因此在學(xué)習(xí)中理解保持同解變形是解不等式應(yīng)該遵循的基本原則。
2、各類不等式最后一般都要化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式來解,這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。
3、解不等式幾乎是每年高考的必考題,重點(diǎn)仍是含參數(shù)有關(guān)的不等式,對(duì)字母參數(shù)的邏輯劃分問題要具體問題具體分析,必須注意分類不重、不漏、完全、準(zhǔn)確。
。5)理解不等式∣a∣-∣b∣∣a+b∣∣a∣+∣b∣
【導(dǎo)讀】
1、解含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對(duì)值。常用的方法是:(1)由定義分段討論;(2)利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì);(3)平方。
2、絕對(duì)值是歷年高考的重點(diǎn),而絕對(duì)值不等式更是?汲P。在考試中要從絕對(duì)值的定義和幾何意義來分析,絕對(duì)值的特點(diǎn)是帶有絕對(duì)值符號(hào),如何去掉絕對(duì)值符號(hào),一定要學(xué)會(huì)方法,切不可以題論題。
3、不等式在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有廣泛的應(yīng)用,同時(shí)還是繼續(xù)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?v觀歷年試題,涉及不等式的考題大致可分為以下幾大類:a、不等式證明。b、解不等式。c、取值范圍的問題。d、應(yīng)用題。
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