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有關(guān)等差數(shù)列知識點(diǎn)整理
在平凡的學(xué)習(xí)生活中，大家最熟悉的就是知識點(diǎn)吧？知識點(diǎn)也可以通俗的理解為重要的內(nèi)容。想要一份整理好的知識點(diǎn)嗎？下面是小編整理的有關(guān)等差數(shù)列知識點(diǎn)整理，歡迎大家分享。
等差數(shù)列知識點(diǎn)整理 篇1
概念
等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。
例如：1，3，5，7，9……2n-1。
通項(xiàng)公式為：an=a1+(n-1)xd。首項(xiàng)a1=1，公差d=2。
前n項(xiàng)和公式為：Sn=a1xn+[nx(n-1)xd]/2或Sn=[nx(a1+an)]/2。
注意：以上n均屬于正整數(shù)。
公式
通項(xiàng)公式
如果一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么該等差數(shù)列第n項(xiàng)的表達(dá)式為：
即an=a1+(n-1)d
補(bǔ)充：
求和公式
若一個等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，末項(xiàng)為an那么該等差數(shù)列和表達(dá)式為：S=(a1+an)n2
即(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2
前n項(xiàng)和公式
注意：n是正整數(shù)(相當(dāng)于n個等差中項(xiàng)之和)
等差數(shù)列前N項(xiàng)求和，實(shí)際就是梯形公式的妙用：
上底為：a1首項(xiàng)，下底為a1+(n-1)d，高為n。
即[a1+a1+(n-1)d]x n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.
推論
一.從通項(xiàng)公式可以看出，a(n)是n的一次函數(shù)(d0)或常數(shù)函數(shù)(d=0)，(n，an)排在一條直線上，由前n項(xiàng)和公式知，S(n)是n的二次函數(shù)(d0)或一次函數(shù)(d=0，a10)，且常數(shù)項(xiàng)為0。
二. 從等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式還可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=…
=a(k)+a(n-k+1)，(類似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k{1，2，…，n}
三.若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)xa(n)，S(2n+1)=
(2n+1)xa(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)xk-S(n-1)xk…成等差數(shù)列，等等。
若m+n=2p，則a(m)+a(n)=2xa(p)
(對3的證明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)xm+b(0)+b(1)xn=2xb(0)+b(1)x(m+n)
p(p)+p(q)=b(0)+b(1)xp+b(0)+b(1)xq=2xb(0)+b(1)x(p+q);因?yàn)閙+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p
(q))
四.其他推論
�、� 和=(首項(xiàng)+末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2
(證明：s(n)=[n，n^2]x[1，1/2;0，1/2]x[b(0);b(1)]=nxb0+1/2xb1xn+1/2xb1xn^2
(p(1)+p(n))xn/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)xn)xn/2=nxb0+1/2xb1xn+1/2xb1xn^2=s(n))
證明原理見高斯算法
項(xiàng)數(shù)=(末項(xiàng)-首項(xiàng))公差+1
(證明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)xn-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)x(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n)
�、� 首項(xiàng)=2x和項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)或末項(xiàng)-公差(項(xiàng)數(shù)-1)
�、� 末項(xiàng)=2x和項(xiàng)數(shù)-首項(xiàng)
(以上2項(xiàng)為第一個推論的轉(zhuǎn)換)
�、� 末項(xiàng)=首項(xiàng)+(項(xiàng)數(shù)-1)公差
(上一項(xiàng)為第二個推論的轉(zhuǎn)換)
推論3證明
若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)
+a(q)
如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)xd+a(1)+(n-1)xd
=2xa(1)+(m+n-2)xd
同理得，
a(p)+a(q)=2xa(1)+(p+q-2)xd
又因?yàn)?/p>
m+n=p+q ;
a(1)，d均為常數(shù)
所以
若m，n，p，qNx，且m+n=p+q，則有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)
若m，n，pNx，且m+n=2p，則有a(m)+a(n)=2a(p)
注：
1.常數(shù)列不一定成立
2.m，p，q，n屬于自然數(shù)
⑤2(前2n項(xiàng)和-前n項(xiàng)和)=前n項(xiàng)和+前3n項(xiàng)和-前2n項(xiàng)和
等差中項(xiàng)
等差中項(xiàng)即等差數(shù)列頭尾兩項(xiàng)的和的一半.但求等差中項(xiàng)不一定要知道頭尾兩項(xiàng)。
等差數(shù)列中，等差中項(xiàng)一般設(shè)為A(r).當(dāng)A(m)，A(r)，A(n)成等差數(shù)列時。
A(m)+A(n)=2A(r)，所以A(r)為A(m)，A(n)的等差中項(xiàng)，且為數(shù)列的平均數(shù)。并且可以推知n+m=2r。
且任意兩項(xiàng)a(m)，a(n)的關(guān)系為：a(n)=a(m)+(n-m)xd，(類似p(n)=p(m)+(n-m)xb(1)，相當(dāng)容易證明
它可以看作等差數(shù)列廣義的通項(xiàng)公式。
等差數(shù)列的應(yīng)用日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級。
若為等差數(shù)列，且有a(n)=m，a(m)=n.則a(m+n)=0。
其實(shí)，中國古代南北朝的張丘建早已在《張丘建算經(jīng)》提到等差數(shù)列了：
今有女子不善織布，逐日所織的布以同數(shù)遞減，初日織五尺，末一日織一尺，計織三十日，問共織幾何?
書中的解法是：并初、末日織布數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得。
這相當(dāng)于給出了S(n)=(a(1)+a(n))/2xn的求和公式。
基本性質(zhì)編輯
�、艛�(shù)列為等差數(shù)列的重要條件是：數(shù)列的前n項(xiàng)和S 可以寫成S = an^2 + bn的形式(其中a、b為常數(shù))。
�、圃诘炔顢�(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n (n N+)時，S偶-S奇 = nd，S奇S偶=ana(n+1);當(dāng)項(xiàng)數(shù)為(2n-1)(n N+)時，S奇—S偶=a(中)，S奇-S偶=項(xiàng)數(shù)xa(中) ，S奇S偶 =n(n-1)。
�、侨魯�(shù)列為等差數(shù)列，則Sn，S2n -Sn ，S3n -S2n，…仍然成等差數(shù)列，公差為k^2d。
(4)若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且前n項(xiàng)和分別是Sn和Tn，則am/bm=S2m-1/T2m-1。
�、稍诘炔顢�(shù)列中，S = a，S = b (nm)，則S = (a-b)。
�、实炔顢�(shù)列中， 是n的一次函數(shù)，且點(diǎn)(n， )均在直線y = x + (a - )上。
⑺記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S .①若a 0，公差d0，則當(dāng)a 0且an+10時，S 最大;②若a 0 ，公差d0，則當(dāng)a 0且an+10時，S 最小。
[8)若等差數(shù)列S(p)=q，S(q)=p，則S(p+q)=-(p+q)
r次等差數(shù)列
為什么等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中，對公差和首項(xiàng)特別的關(guān)注，因?yàn)楣詈褪醉?xiàng)可以作為等差數(shù)列一切變化的`切入點(diǎn)。當(dāng)我們有更好的切入點(diǎn)后，我們可以毫不猶豫的拋棄公差和首項(xiàng)。
假設(shè)一個基En(x)=[1，x，x^2，...，x^k]，轉(zhuǎn)換矩陣A為k+1階方陣，b=[b0，b1，b2，...，bk]。b同En的長度一樣(k+1)。b表示b的轉(zhuǎn)置。當(dāng)k=1時，我們可以稱為一次數(shù)列。k=r時，我們可以稱為r次數(shù)列。(x，k只能取自然數(shù))
p(x)=En(x)xb
s(x)=xxEn(x)xAxb
m+n=p+q(m、n、p、qNx)則am+an=ap+aq
一次數(shù)列的性質(zhì)
1.p1(x)，p2(x)均為一次數(shù)列，則p1(x)p2(x)與cxp1(x)p2(x)(c為非零常數(shù))也是一次數(shù)列。p(x)是一次函數(shù)，(n，p(x))構(gòu)成直線。
2.p(m)-p(n)=En(m)xb-En(n)xb=(En(m)-En(n))xb=[0，m-n]xb
3.m+n=p+q - p(p)+p(q)=p(m)+p(n)
(證明:m+n=p+q - En(m)+En(n)=En(p)+En(q)
p(m)+p(n)=En(m)xb+En(n)xb=(En(m)+En(n))xb
p(p)+p(q)=(En(p)+En(q))xb=(En(m)+En(n))xb=p(m)+p(n)
4.從p(x)=En(x)xb中取出等距離的項(xiàng)，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是一次數(shù)列，其一次項(xiàng)系數(shù)為kxb(1)( k為取出項(xiàng)數(shù)之差)，常項(xiàng)系數(shù)未知。
5.在一次數(shù)列中，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它前后兩項(xiàng)的平均數(shù)。
6.當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)b(1)0時，數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大;當(dāng)b(1)0時，數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減小;b(1)=0時，數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)。
等差數(shù)列的判定
1、a(n+1)--a(n)=d (d為常數(shù)、n Nx)[或a(n)--a(n-1)=d，n Nx，n 2，d是常數(shù)]等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
2、2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [nNx] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
3、a(n)=kn+b [k、b為常數(shù)，nNx] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
4、S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n Nx ]等價于{a(n)}為等差數(shù)列。
等差數(shù)列知識點(diǎn)整理 篇2
1.定義：如果一個數(shù)列,從第二項(xiàng)開始它的每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之差都等于同一常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列, 這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d來表示。同樣為數(shù)列的等比數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列也有相通之處。
2.數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列的前n項(xiàng)和S 可以寫成S = an^2 + bn的'形式(其中a、b為常數(shù))．等差數(shù)列練習(xí)題
3.性質(zhì)1：公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd．
4.性質(zhì)2：公差為d的等差數(shù)列，各項(xiàng)同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d．
5.性質(zhì)3：當(dāng)公差d＞0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的增大而增大；當(dāng)d＜0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項(xiàng)數(shù)的減少而減小；d＝0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)．
等差數(shù)列知識點(diǎn)整理 篇3
一般地，如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做公差，用符號語言表示為an+1-an=d。
等差數(shù)列的性質(zhì)：
�。�1）若公差d＞0，則為遞增等差數(shù)列；若公差d＜0，則為遞減等差數(shù)列；若公差d＝0，則為常數(shù)列；
�。�2）有窮等差數(shù)列中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)和相等，并且等于首末兩項(xiàng)之和；
�。�3）若s，t，p，q∈N*，且s+t=p+q，則as+at=ap+aq，其中as，at，ap，aq是數(shù)列中的項(xiàng)，特別地，當(dāng)s+t=2p時,高一，有as+at=2ap；
�。�4）若數(shù)列｛an｝，｛bn｝均是等差數(shù)列，則數(shù)列｛man+kbn｝仍為等差數(shù)列，其中m，k均為常數(shù)。
�。�5）從第二項(xiàng)開始起，每一項(xiàng)是與它相鄰兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，也是與它等距離的`前后兩項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即
對等差數(shù)列定義的理解：
�、偃绻粋�數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或某一項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列，但可以說從第2項(xiàng)或某項(xiàng)開始是等差數(shù)列．
②求公差d時，因?yàn)閐是這個數(shù)列的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差，故有 還有
�、酃頳∈R，當(dāng)d=0時，數(shù)列為常數(shù)列（也是等差數(shù)列）；當(dāng)d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列；
�、� 是證明或判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的依據(jù)；
�、葑C明一個數(shù)列是等差數(shù)列，只需證明an+1-an是一個與n無關(guān)的常數(shù)即可。
等差數(shù)列求解與證明的基本方法：
(1)學(xué)會運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題；
(2)抓住首項(xiàng)與公差是解決等差數(shù)列問題的關(guān)鍵；
(3)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式涉及五個量：a1，d，n，an，Sn，知道其中任意三個就可以列方程組求出另外兩個(俗稱“知三求二’)。
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