初中奧數(shù)幾何計(jì)數(shù)練習(xí)題
初中奧數(shù)幾何計(jì)數(shù)練習(xí)題
習(xí)題1：10個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分?
解：設(shè)n個(gè)三角形最多將平面分成an個(gè)部分。
n=1時(shí)，a1=2;
n=2時(shí)，第二個(gè)三角形的每一條邊與第一個(gè)三角形最多有2個(gè)交點(diǎn)，三條邊與第一個(gè)三角形最多有2×3=6(個(gè))交點(diǎn)。這6個(gè)交點(diǎn)將第二個(gè)三角形的.周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個(gè)部分分成2個(gè)部分，從而平面也增加了6個(gè)部分，即a2=2+2×3。
n=3時(shí)，第三個(gè)三角形與前面兩個(gè)三角形最多有4×3=12(個(gè))交點(diǎn)，從而平面也增加了12個(gè)部分，即：
a3=2+2×3+4×3。
……
一般地，第n個(gè)三角形與前面(n-1)個(gè)三角形最多有2(n-1)×3個(gè)交點(diǎn)，從而平面也增加2(n-1)×3個(gè)部分，故
an=2+2×3+4×3+…+2(n-1)×3
=2+[2+4+…+2(n-1)]×3
=2+3n(n-1)=3n2-3n+2。
特別地，當(dāng)n=10時(shí)，a10=3×102+3×10+2=272，即10個(gè)三角形最多把平面分成272個(gè)部分。
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