關于圓數學思想方法題目

　　圓數學思想方法

　　一、分類討論思想

　　例1 已知兩相交圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，求這兩圓的圓心距.

　　分析：已知兩圓相交，求兩圓圓心距。

　　解：分兩種情況：

　　(1)如圖1，設⊙O1的半徑為r1=5cm，⊙O2的半徑為r2=4cm.

　　圓心Ol，02在公共弦的異側.

　　∵O1 O2垂直平分AB，AD= AB=3cm.

　　連O1A、 O2A，則 .

　　(cm).

　　(2)如圖2，圓心Ol，02在公共弦AB的同側，同理可求

　　二、方程思想

　　例2 如圖，AB是⊙O的直徑，弦CDAB于E，弦CD，AF相交于點G，過點D作⊙O的切線交AF的延

　　長線于M，且 .

　　(1)在圖中找出相等的線段(直接在橫線上填寫，所寫結論至少3組，所添輔助線段除外，不寫推理過程)：.

　　(2)連結AD，AF(請將圖形補充完整)，若 ，求AC∶DF的值.

　　【分析】(1)利用垂徑定理易知：CE=DE，而由 可知CAG.

　　AG=CG.

　　根據相似可求得 CGDG=AGGF，可得DG=FG.

　　(2) 先根據相似求出CE，得CD，AF，又GD=GF，設EG=x，則AG可用x表示，再用Rt△AEG建立x的方程，求出x，用△AGC∽△DGF得AC與DF的比.

　　解：(1)CE=DE，AG=CG，DG=FG.

　　(2)連接AC. ∵ ABCD，

　　EC=ED，AC=AD.

　　由相交弦定理，得 AEBE=CE2 .

　　CE=3. CD=AF=6.

　　又∵ GDF=GFD，

　　GD=GF.

　　設EG=x，則AG=6-(3-x)=3+x.

　　在Rt△AEG中，

　　【小結】本題是一道垂徑定理，圓周角定理，相交弦定理，切割線定理合為一體的綜合題，第(1)問有開放性和探索性，第(2)問運用了方程思想，全面考查了對圓相關知識的認識.

　　三、代數思想

　　例3 如圖所示，⊙O的直徑ABCD，E為OD的中點，AE交⊙O于點G，CG交OB于點F.求證：OB=3OF.

　　【分析】 確定兩條線段之間的倍數關系，一般采用尋找等分點的直接證法和借助中間量的間接證法.根據本題的已知條件，可依據三角形相似比的關系，借助系數k尋求OB、OF的關系.

　　證明：設半徑OA=2k，則OE=ED=k，AB=2OA=4k，OA=OC=OB=2k.

　　連結DG、BG.

　　四、運動的思想

　　例4 已知：如圖，⊿ABC的外部有一動點P(不能在直線BC上)，分別連結PB、PC，試確定BPC與BAC的大小關系.

　　分析：BPC與BAC之間沒有聯(lián)系，要確定BPC與BAC的大小關系，必須找恰當的載體，作為它們之間的橋梁，這道橋梁就是圓，通過構造⊿ABC的外接圓，問題就會迎刃而解.

　　解：如圖弧BAC和弧BMC是包含圓周角等于BAC 的兩段弧(BMC=BAC)，1.當點P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直線BC上時，2.當點P在弧BAC和弧BMC上時，BPC=3.當點P在弓形BAC和弓形BMC內且在⊿ABC和⊿MBC外時，BAC.

　　證明：1.當點P在弓形BAC和弓形BMC外且不在直線BC上時，如圖1，連結BD，根據外角大于任何一個與它不相鄰的內角，BDC，又∵BDC=BAC，BAC，(若點P在BC下側的弓形BAC和弓形BMC外時，同法可證出BMC即2.當點P在弧BAC和弧BMC上時，如圖2，根據同弧所對的圓周角相等，BPC=BAC(若點P在弧BMC上時，同法也可證得BPC=BMC=3.當點P在弓形BAC和弓形BMC內且在⊿ABC和⊿MBC外時，如圖3，延長BP交⊿ABC外接圓于點D，連結CD，BDC，又∵BDC=BAC，BAC，(若點P在弓形BMC內且在⊿MBC外時，同法也可證出BMC即BAC).

　　五、割補思想

　　例5 如圖，將半徑為2cm的⊙O分割成十個區(qū)域，其中弦AB、CD關于點O對稱，EF、GH關于點O對稱，連接PM，則圖中陰影部分的面積是_____cm2(結果用表示).

　　解析：如圖，根據對稱性可知：S1=S2，S3=S3，S5=S6，S7=S8，因此陰影部分的面積占整個圓面積的 ，應為： (cm2).

　　點評 把所求不規(guī)則圖形，通過已知的分割線把原圖形分割成的圖形進行適當的組合，轉化為可求面積的圖形.

　　分類思想在圓中的應用

　　例1 已知兩圓半徑之比是5:3，如果兩圓內切時，圓心距等于6，問當兩圓的圓心距分別是24、5、20、0時，相應兩圓的位置關系如何?

　　選題意圖：考查兩圓五種位置關系.

　　解：設大圓半徑R=5x

　　∵兩圓半徑之比為5: 3，小圓半徑r=3x，

　　∵兩圓內切時圓心距等于6，5x-3x=6，x=3，

　　大圓半徑R=15，小圓半徑r=9，

　　當兩圓圓心距dl=24時，有dl=R+r，此時兩圓外切;

　　當兩圓圓心距d2=5時，有d2

　　當兩圓圓心距d3=20時， 有R-r

　　例2 已知兩相交圓的半徑分別為5cm和4cm，公共弦長為6cm，求這兩圓的圓心距.

　　選題意圖：已知兩圓相交，求兩圓圓心距。

　　解：分兩種情況：

　　(1)如圖1，設⊙O1的半徑為r1=5cm，⊙O2的半徑為r2=4cm.

　　圓心Ol，02在公共弦的異側.

　　∵O1 O2垂直平分AB，AD= AB=3cm.

　　連O1A、 O2A，則 (cm).

　　(2)如圖2，圓心Ol，02在公共弦AB的同側，同理可求

　　例3 已知：如圖，⊙O和⊙O1內切于A，直線OO1交⊙O于另一點B，交⊙O1于另一點F，過B點作⊙O1的切線，切點為D，交⊙O于C點，DEAB垂足為E.

　　求證：

　　(1)CD=DE;

　　(2)若將兩圓內切改為外切，其他條件不變，(1)中的結論是否成立?

　　請證明你的結論.

　　選題意圖：主要應用如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上

　　這一結論解決的綜合題

　　證明：(1)連結DF、AD，

　　∵AF為⊙O1的直徑，FDAD，又DEAB，

　　DFE=EDA，

　　∵BC為⊙O1的切線，CDA=DFE，

　　CDA=EDA，

　　連結AC，∵AB為⊙O的直徑，

　　ACBC，又AD公共，

　　Rt△EDA≌Rt△CDA，

　　CD=DE.

　　(2)當兩圓外切時，其他條件不變，(1)中的結論仍成立.證法同(1).

　　例4 如圖，⊙O經過⊙O的圓心，E、F是兩圓的交點，直線OO交⊙O于點Q、D，交⊙O于點P，交EF于點C且EF=2 ，sinP= .

　　(1)求證：PE是⊙O的切線;

　　(2)求⊙O和⊙O的半徑的長;

　　(3)點A在劣弧 上運動(與點Q、F不重合)，連結PA交 于點B，連結BC并延長交⊙O 于點G，設CG=x，PA=y.求y關于x的函數關系式.

　　選題意圖：主要考查切線的判定、兩圓相交的性質、勾股定理、三角函數、切割線定理及相似形等知識的綜合題。

　　證明：(1)連結OE，∵OP是⊙O的直徑，

　　OEP=90，PE是⊙O的切線.

　　(2)設⊙O、⊙O的半徑分別r、r.

　　∵⊙O與⊙O交于E、F，

　　EFOO，EC= EF= .

　　在Rt△EOC、Rt△POE中，OEC=OPE.

　　sinOEC= sinOPE= ，

　　sinOEC= ，即OC= r，

　　r2- r=15，得r=4.

　　在Rt△POE中，sinOPE= ，r=8.

　　(3)按題意畫圖，連結OA，∵OEP=90，CEOP，

　　PE2=PCPO.又∵PE是⊙O的切線，PE2=PBPA，PCPO=PBPA，

　　即 ，又∵CPO=APO，△CPB∽△APO， ，

　　BC=60/PA.由相交弦定理得BCCG=ECCF，BC=15/CG，

　　PA=4CG，即y=4x(

　　例5 兩圓的半徑分別是方程 的兩根且兩圓的圓心距等于3，則兩圓的位置關系是( )

　　(A)外離(B)外切 (C)內切(D)相交

　　解：∵方程 的兩根分別為1和2，而兩圓的'圓心距是3，

　　兩圓的半徑之和等于圓心距，

　　(1)兩圓外離 ;

　　(2)兩圓外切 ;

　　(3)兩圓相交 ;

　　(4)兩圓內切 ;

　　(5)兩圓內含 .

　　巧用整體思想求面積

　　化零為整，化分散為集中的整體策略是數學解題的重要方法，利用整體思想，把一些看似彼此獨立，實質上緊密相連的量作為整體進行處理，不僅會使問題化繁為簡，化難為易，而且有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，提高學生分析問題和解決問題的能力.

　　例1 如圖1，⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交，且半徑都為 ，則圖中陰影部分的面積之和為( ).

　　A. B. C. D.

　　析解：圖中陰影部分為三個扇形，所以只要求出扇形的面積即可。但求扇形的面積必須知道圓心角的度數，如何求出這三個扇形的圓心角的度數呢?顯然是比較困難的，因為這是一個普通的三角形。我們觀察到三個圓的半徑相同，于是考慮將三個圓心角拼在一起，這樣就可以利用三角形的內角和定理來解決了。三個扇形圓心角的度數之和為三個頂點處的三個周角的度數之和減去三角形的內角和，即 ，所以陰影部分的面積之和為： = ，

　　故選B.

　　例2 如圖2所示，已知⊙A、⊙B、⊙C、⊙D相互外離，它們的半徑都是1，順次連結四個圓心得到四邊形ABCD，則圖形中四個扇形(陰影部分)的面積之和為( ).

　　A. B. C. D.

　　析解：利用整體思想的方法，四個扇形的圓心角之和為四邊形ABCD的內角之和，又因為四個圓的半徑都是1，所以陰影部分的面積之和為： 故選B.

　　例3 有六個等圓拼成甲、乙、丙三種形狀擺放，使相鄰兩圓均互相外切，如圖3所示的圓心的連線(虛線)分別構成正六邊形、平行四邊形和正三角形，將圓心連線外側的6個扇形(陰影部分)的面積之和依次記為S、P、Q，則( ).

　　A.SQ B.SP C.SP且P=Q D.S=P=Q

　　分析：要想比較各個圖形中陰影部分的面積，由于若逐一計算，顯然有些麻煩，但考慮將六個扇形的圓心角合為一個整體，則可以利用多邊形內角和定理，分別求得六個圓心角之和，這樣就可以通過扇形面積公式從整體上求解。

　　解：因為圖甲是六邊形，即六個圓心角之和為 =720圖乙六個圓心角之和為平行四邊形的內角和加上兩個半圓的圓心角，即 ;圖丙中六個圓心角之和為三角形內角和加上三個半圓的圓心角，即： 。因此可見，這三個圖形中的六個扇形的面積之和是相等的，即陰影部分的面積為： .故外側扇形面積S=P=Q，應選D.

　　由以上三道例題我可以明顯地感悟到：數學思想方法是數學的靈魂。因此，我們在日常的數學學習中解題時要細心觀察給出的圖形,探尋進行轉化的途徑和方法是解決此類問題的關鍵,而扇形的面積應用在其中的作用是不可低估的。

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