數學最常用的基本數學方法
什么是數學方法 ? 中學數學有哪些常用的基本數學方法 ?
答：所謂方法，是指人們?yōu)榱诉_到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規(guī)則或模式．人們通過長期的實踐，發(fā)現了許多運用數學思想的手段、門路或程序．同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，就成為數學方法．數學方法是以數學的工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態(tài)、關系和過程，經過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。
數學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是邏輯的嚴密性及結論的確定性，三是應用的普遍性和可操作性． 數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔確定的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具．現代科學技術特別是電子計算機的發(fā)展，與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成．
在中學數學中經常用到的基本數學方法，大致可以分為以下三類：
�。� 1 ）邏輯學中的方法．例如分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（要求分類討論）等．這些方法既要遵重邏輯學中的基本規(guī)律和法則，又因為運用于數學之中而具有數學的特色．
高中英語 （ 2 ）數學中的一般方法．例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法（也稱坐標法，在代數中常稱圖象法，在學生今后要學習的解析幾何中常稱坐標法）、比較法（數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同）等．這些方法極為重要，應用也很廣泛．
�。� 3 ）數學中的特殊方法．例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法（也稱之為中間變量法）、拆項補項法（含有添加輔助元素實現化歸的數學思想）、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等．這些方法在解決某些數學問題時也起著重要作用，對于某一類問題也都是一種通法。
高中數學 函數
函數簡介：
在領域，函數是一種關系，這種關系使一個集合里的每一個元素對應到另一個（可能相同的）集合里的唯一元素。
----A variable so related to another that for each value assumed by one there is a value determined for the other.
自變量，函數一個與他量有關聯的變量，這一量中的任何一值都能在他量中找到對應的固定值。
----A rule of correspondence between two sets such that there is a unique element in the second set assigned to each element in the first set.
函數兩組元素一一對應的規(guī)則，第一組中的每個元素在第二組中只有唯一的對應量。
函數的概念對于數學和數量學的每一個分支來說都是最基礎的。
～‖函數的定義： 設x和y是兩個變量，D是實數集的某個子集，若對于D中的每個值x，變量y按照一定的法則有一個確定的值y與之對應，稱變量y為變量x的函數，記作 y=f(x).
數集D稱為函數的定義域，由函數對應法則或實際問題的要求來確定。相應的函數值的全體稱為函數的值域，對應法則和定義域是函數的兩個要素。
functions
數學中的一種對應關系，是從非空集合A到實數集B的對應。簡單地說，甲隨著乙變，甲就是乙的函數。精確地說，設X是一個非空集合，Y是非空數集，f是個對應法則 ， 若對X中的每個x，按對應法則f，使Y中存在唯一的一個元素y與之對應，就稱對應法則f是X上的一個函數，記作y＝f（x），稱X為函數f（x）的定義域，集合{yy=f（x），x∈X}為其值域（值域是Y的子集），x叫做自變量，y叫做因變量，習慣上也說y是x的函數。
若先定義映射的概念，可以簡單定義函數為：定義在非空數集之間的映射稱為函數。
例1：y＝sinx X＝［0，2π］，Y＝［－1，1］ ，它給出了一個函數關系。當然 ，把Y改為Y1＝（a，b） ，a＜b為任意實數，仍然是一個函數關系。
其深度y與一岸邊點 O到測量點的距離 x 之間的對應關系呈曲線，這代表一個函數，定義域為［0，b］。以上3例展示了函數的三種表示法：公式法 ， 表格法和圖 像法。
一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量X與Y，并且對于X的每一個確定的值，Y都有為一得值與其對應，那么我們就說X是自變量，Y是X的函數。如果當X=A時Y=B，那么B叫做當自變量的值為A時的函數值。
復合函數 有3個變量，y是u的函數，y＝ψ（u），u是x的函數，u＝f（x），往往能形成鏈：y通過中間變量u構成了x的函數：
x→u→y，這要看定義域：設ψ的定義域為U 。 f的值域為U，當U*U時，稱f與ψ 構成一個復合函數 ， 例如 y＝lgsinx，x∈（0，π）。此時sinx＞0 ，lgsinx有意義 。但如若規(guī)定x∈（－π，0），此時sinx＜0 ，lgsinx無意義，就成不了復合函數。
立體幾何學習中的圖形觀
立體幾何的離不開圖形，圖形是一種語言，圖形能幫我們直觀地感受空間線面的位置關系，培養(yǎng)空間．所以在立體幾何的中，我們要樹立圖形觀，通過作圖、讀圖、用圖、造圖、拼圖、變圖培養(yǎng)我們的．
一、作圖
作圖是立體幾何學習中的基本功，對培養(yǎng)空間概念也有積極的意義，而且在作圖時還要用到許多空間線面的關系．所以作圖是解決立體幾何問題的第一步，作好圖有利于問題的解決．
例1 已知正方體中，點P、E、F分別是棱AB、BC、的中點（如圖1)．作出過點P、E、F三點的正方體的截面．
分析：作圖是學習中的一個弱點，作多面體的截面又是作圖中的難點．看到這樣的題目不知所云．有的連結P、E、F得三角形以為就是所求的截面．其實，作截面就是找兩個平面的交線，找交線只要找到交線上的兩點即可．觀察所給的條件（如圖2)，發(fā)現PE就是一條交線．又因為平面ABCD／／平面，由面面平行的性質可得，截面和面的交線一定和PE平行．而F是的中點，故取的中點Q，則FQ也是一條交線．再延長FQ和的延長線交于一點M，由公理3，點M在平面和平面的交線上，連PM交于點K 高中政治，則QK和KP又是兩條交線．同理可以找到FR和RE兩條交線（如圖2).因此，六邊形PERFQK就是所求的截面．
二、讀圖
圖形中往往包含著深刻的意義，對圖形理解的程度影響著我們的正確解題，所以讀懂圖形是解決問題的重要一環(huán)．
例2 如圖3，在棱長為a的正方體中，EF是棱AB上的一條線段，且EF＝b＜a，若Q是上的定點，P在上滑動，則四面體PQEF的體積（ ）．
（A)是變量且有最大值（B）是變量且有最小值（C）是變量無最大最小值（D）是常量
分析：此題的解決需要我們仔細分析圖形的特點．這個圖形有很多不確定因素，線段EF的位置不定，點P在滑動，但在這一系列的變化中是否可以發(fā)現其中的穩(wěn)定因素？求四面體的體積要具備哪些條件？
仔細觀察圖形，應該以哪個面為底面？觀察，我們發(fā)現它的形狀位置是要變化的，但是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值．再發(fā)現點Q到面PEF的距離也是定值．因此，四面體PQEF的體積是定值．我們沒有一點計算，對圖形的分析幫助我們解決了問題．
三、用圖
在立體幾何的學習中，我們會遇到許多似是而非的結論．要證明它我們一時無法完成，這時我們可考慮通過構造一個特殊的圖形來推翻結論，這樣的圖形就是反例圖形．若我們的心中有這樣的反例圖形，那就可以幫助我們迅速作出判斷．
例3判斷下面的命題是否正確：底面是正三角形且相鄰兩側面所成的二面角都相等的三棱椎是正三棱錐．
分析：這是一個學生很容易判斷錯誤的問題．大家認為該命題正確，其實是錯誤的，但大家一時舉不出例子來加以說明．問題的關鍵是二面角相等很難處理．我們是否可以考慮用一個正三棱錐通過變形得到？
如圖4，設正三棱錐的側面等腰三角形PAB的頂角是，底角是，作的平分線，交PA于E，連接EC．可以證明是等腰三角形，所以AB＝BE．同理EC＝AB．那么，△EBC是正三角形，從而就是滿足題設的三棱錐，但不是正三棱錐．
四、造圖
在立體幾何的學習中，我們可以根據題目的特征，精心構造一個相應的特殊幾何模型，將陌生復雜的問題轉化為熟悉簡單的問題．
例4 設a、b、c是兩兩異面的三條直線，已知，且d是a、b的公垂線，如果，那么c與d的位置關系是（ ）．
�。ˋ）相交 （B）平行（C）異面（D）異面或平行
分析：判斷空間直線的位置關系，最佳是構造恰當的幾何圖形，它具有直觀和易于判斷的優(yōu)點．根據本題的特點，可以考慮構造正方體，如圖5，在正方體 中，令AB＝a，BC＝d，．當c為直線時，c與d平行；當c為直線時，c與d異面，故選D．
五、拼圖
空間基本圖形由點、線、面構成，而一些特殊的圖形也可以通過基本圖形拼接得到．在拼圖的過程中，我們會發(fā)現一些變和不變的東西，從中感悟出這個圖形的特點，找出解決待求解問題的方法．
例5給出任意的一塊三角形紙片，要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設計一種方案，并加以簡要的說明．
分析：這是2002年立體幾何題中的一部分．這個設計新穎的題目，使許多平時做慣了證明、計算題的學生一籌莫展．這是一道動作題，但它不僅是簡單的剪剪拼拼的動作，更重要的是一種心靈的“動作”，思維的“動作”．受題目敘述的影響，大家往往在想如何折起來？參考答案也是給了一種折的方法．那么這種方法究竟從何而來？其實逆向思維是這題的一個很好的切人點．我們思考：展開一個直三棱柱，如何還原成一個三角形？
把一個直三棱柱展開后可得到甲、乙兩部分，甲內部的三角形和乙是全等的，甲的三角形外是寬相等的三個矩形．現在的問題是能否把乙分為三部分，補在甲的三個角上正好成為一個三角形（如圖丙）？因為甲中三角形外是寬相等的矩形，所以三角形的`頂點應該在原三角形的三條角平分線上，又由于面積要相等，所以甲中的三角形的頂點應該在原三角形的內心和頂點的連線段的中點上（如圖丁）．按這樣的設計，剪開后可以折成一個直三棱柱．
六、變圖
幾何圖形千變萬化，在不斷的變化中展示幾何圖形的魅力，在不斷的變化中培養(yǎng)我們的能力，在有意無意的變化中開闊我們的思路．
例6 已知在三棱錐中，PA＝a，AB＝AC＝2a，，求三棱錐的體積．
分析：此題的解決方法很多，但切割是不錯的選擇．
思路1 設D為AB的中點，依題意有：，，所以有：
此解法實際上是把三棱錐一分為二，三棱錐B-PAD的底面是直角三角形，高就是BD，從而大大簡化了計算．這種分割的方法也是立體幾何解題中的一種重要策略．它化復雜為簡單，化未知為已知．
思路2 從點A出發(fā)的三條棱兩兩夾角為，故可補形為正四面體．
如圖，延長AP至S，使PA＝PS，連SB、SC，于是四面體S-ABC為邊長等于2a的正四面體，而且
從上述的六個方面，我們可以看到，在立體幾何的學習中如果我們能正確了解圖形,合理利用圖形，不斷變化圖形，一定可以使我們的學習更上一個臺階．
趣談平分
把餅那樣的物體分成2等份，可以采用一個人切而讓另一個人挑的辦法，這樣分的優(yōu)點是很明顯的。在第一個人看來，他必須把餅分成他認為價值相等的兩部分，才能保證得到他應得的那一部分；而第二個人只要選取價值大的那一部分，或在兩部分價值相等的情況下任選其中一部分，就能保證他得到他至少應得的那一部分。在這里，我們假定物體具有在分割時不會損失它的總價值。
若要把一個物體分成3或若干等份，我們可以采用這樣的方法：這里以5個人分配來說明，對于任意多個分配者，分法大致是相同的。我們把這5個人叫做甲、乙、丙、丁、戊。甲有權利從餅上割下任一部分；乙有把甲所割出的一塊減少的自由，但沒有人強迫他這樣做；然后丙又有減少這一塊的自由，這樣繼續(xù)下去。假定最后是戊接觸這塊餅，那么由戊拿走這塊餅，然后把剩余的餅在甲乙丙丁四人之間平分。第二輪可一用同樣的步驟把參加的人數減少到三，以此分配下去�，F在我們來看，每一個參加分配的人應如何做才能保證自己應得的那一部分歸自己。在第一輪甲割下它認為值1/5的一塊后，很可能沒有人再去碰它而甲就達到值1/5的那一部分；在這種情況下，他沒有做錯。然而，如果有另一個或幾個人減少了這塊餅，那么最后接觸到他的人就要得到它，所以甲當然認為價值超過/5的餅被留下由4個人平分，而他是這4個人中的一個。在第二輪甲照前面的辦：如果他仍就是第一個，那么他割下認為有余下部分1/4價值的那一塊。這個策略還不完全，我們還應指出一個分配者在他不是第一時應怎樣做。假定乙認為甲所個下的部分太大，也就是比他估計的整個餅的1/5大了，那么他只要把它減少到他認為適當的大��；如果他成為最后一個減少這部分餅的人，他就得到了它，而且并沒有做錯，如果他沒有得到它，那是因為在乙以后又有別的人接觸了它。因而在乙以后的減小者中有一人要得到被乙認為是價值小于1/5的一塊餅，所以乙在下一輪將參加分配他認為價值大于原來4/5的部分�，F在方法就清楚了：如果你在任一輪中是n個分配者的第一個，那么不論放在你面前的是整個餅還是余下的部分，你總應該割下你認為價值時這部分餅的1/n的一塊；如果你在這一輪中不是第一個，而且你看到由別人割下的一塊比你估計的那部分餅的1/n大，那你就把它減小到1/n；如果割下的你估計的那部分餅的1/n小，那你就不要動它。這個方法保證每一個人得到他認為是應得的部分。 高中地理
在經濟生活中，存在著另一種分配問題：分配的是不能分割的物體，如房子、家畜、家具、汽車、藝術品等。例如一筆遺產，包括：一座房子、一座磨坊和一輛汽車，要在享有同等繼承權的四個繼承人甲乙丙丁之間分配，需要一個公正人，請讀者想一想，應如何去做？
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