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《立方根》七年級數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計
【教學(xué)目標】
一、知識與技能目標
1.了解立方根的概念,能夠用根號表示一個數(shù)的立方根.
2.能用類比平方根的方法學(xué)習立方根,及開立方運算,并區(qū)分立方根與平方根的不同.
二、過程與方法目標 用類比的方法探尋出立方根的運算及表示方法,并能自我總結(jié)出平方根與立方根的異同.
三、情感態(tài)度與價值觀目標 發(fā)展學(xué)生的求同存異思維,使他們能在復(fù)雜的環(huán)境中明辨是非,并做出正確的處理.
【教學(xué)重難點】
教學(xué)重點：立方根的概念.
教學(xué)難點：
1.正確理解立方根的概念.
2.會求一個數(shù)的立方根.
3.區(qū)分立方根與平方根的不同之處.
教學(xué)方法： 類比學(xué)習法.
教學(xué)過程：
Ⅰ.新課導(dǎo)入
上節(jié)課我們學(xué)習了平方根的定義，若x2=a，則x叫a的平方根，即x=±. 若正方體的棱長為a，體積為8，根據(jù)正方體體積的公式得a3=8，那a叫8的什么呢?本節(jié)課請大家根據(jù)上節(jié)課的內(nèi)容自己來類推出結(jié)論，若x3=a，則x叫a的什么呢?
〖評析在學(xué)生對《平方根》知識的學(xué)習后檢查自己課前延伸的練習情況，讓學(xué)生自查自糾，把學(xué)習的主動權(quán)交給學(xué)生;另外，通過對立方根的應(yīng)用題解決了，讓學(xué)生有一種學(xué)習數(shù)學(xué)很有用的感覺，激發(fā)他們的學(xué)習興趣.
Ⅱ.新課講解
1.請大家先回憶平方根的定義.
下面大家能不能再根據(jù)平方根的寫法來類推立方根的記法呢?
(一)提出問題,引發(fā)討論 在學(xué)習平方根的運算時,首先是找出一些數(shù)的平方值,然后才根據(jù)其逆運算過程確定某數(shù)的平方根,同樣,我們先來算一算一些數(shù)的立方. 23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______; ()3=_____;-()3=_____ ; 03=______.
(1)經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)正數(shù),0,負數(shù)的立方值與平方值有何不同之處? 23=8;(-2)3=-8; 0.53=0.125; (-0.5)3=-0.125;()3=; -()3=-; 03=0. 我們發(fā)現(xiàn),求立方運算時,當?shù)讛?shù)互為相反數(shù)時,其立方值也是一對互為相反數(shù),這與平方運算不同,平方運算的底數(shù)為相反數(shù),但其平方值相等,故一個正數(shù)的平方根有兩個值,但一個正數(shù)的立方根卻只有一個值了,什么是立方值呢? 類似平方值定義可知,若x3=a則x為a的立方根,記為,讀作三次根號a.負數(shù)沒有平方根,負數(shù)有無立方根呢?從(-2)3=-8,(-0.5)3=-0.125,()3=-,可知負數(shù)有立方根,并且其立方根仍為負數(shù).
(2)開平方與平方運算互為逆運算,同樣開立方與立方運算也互逆,故請根據(jù)上述等式,寫出這些互為相反數(shù)的立方根. 8的立方根為2,-8的立方根為-2,記為=2, =-2 0.125的立方根為0.5,-0.125的立方根為-0.5,記為=0.5, =-0.5 的立方根為,-的立方根為-,記為=，=- 0的立方根為0,記為=0
〖評析在此處鋪設(shè)了一個臺階，再設(shè)置了一個學(xué)生容易解決的問題，將學(xué)生的注意力從開立方運算向立方運算的思路引導(dǎo)，讓學(xué)生對立方運算與開立方運算這間的互逆關(guān)系有初步的認識，為進一步探究新知作好準備。
上述過程都是求一個數(shù)的立方根的運算,把求一個數(shù)的立方根的運算,叫做開立方,開立方與立方運算互為逆運算.故正方體的體積為125時,其邊長為=5,而球的體積為r3 =125時,r≈3.1. 若x的平方等于a，則x叫a的平方根，記作x=±，讀作x等于正、負二次根號a，簡稱為x等于正，負根號a.若x的立方等于a，則x叫a的立方根，記作x=±，讀作x等于正、負三次根號a，簡稱x等于正、負根號a.
[師]請大家對這位同學(xué)的回答展開討論，小組總結(jié)后選代表發(fā)言
[生甲]我認為這位同學(xué)回答得不對.如果x2=a，則x=±，x3=a時，x=±也成立的話，那如何區(qū)分平方根與立方根呢?
[生乙]因為乘方與開方是互為逆運算，求立方根可通過逆運算立方來求，如x3=8，因為23=8，所以x=2，只有一個根而不是±2，所以立方根的個數(shù)不正確.
[師]大家的分析非常有道理，請認真看書第13、14頁可知，若一個數(shù)x的立方等于a，即x3=a，那么這個數(shù)x就叫做a的立方根(cube root;也叫三次方根)如2是8的立方根，記為x=，讀作x等于三次根號a. 開立方的定義
[師]大家先回憶開平方的定義，再類推開立方的定義.
[生]求一個數(shù)a的平方根的運算，叫做開平方，則求一個數(shù)a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方數(shù). (2)立方根的性質(zhì)
[師]2的立方等于多少?是否有其他的數(shù)，它的立方也是8?
[生]2的立方等于8，(-2)3=-8，所以沒有其他的數(shù)的立方等于8.
[師]-3的立方等于多少?是否有其他的數(shù)，它的立方也是-27?
[生]-3的立方等于-27，33=27，所以沒有其他的數(shù)的立方等于-27
[師]0的立方等于多少?0有幾個立方根?
[生]0的立方等于0，0有1個立方根是0.
[師]從剛才的討論中，大家總結(jié)一下正數(shù)有幾個立方根?0有幾個立方根?負數(shù)有幾個立方根?
[生]正數(shù)有一個立方根，0有一個立方根是0，負數(shù)有一個立方根.
[師]對.正數(shù)有一個正的立方根、負數(shù)有一個負的立方根，0的立方根有一個，是0. (3)平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系.
[師]我們已經(jīng)學(xué)習了平方根與立方根的定義，并會求某些數(shù)的平方根和立方根，下面請大家說說它們的聯(lián)系與區(qū)別.
[生]從定義來看，若一個數(shù)x的平方等于a，即x2=a，則x叫a的平方根;若一個數(shù)x的立方等于a，即x3=a，則x叫a的立方根，都是一個數(shù)x的乘方等于a，但一個是平方，另一個是立方.
[生]一個正數(shù)的平方根有兩個，一個負數(shù)沒有平方根，零的平方根有一個是零;一個正數(shù)的立方根有一個，并且是正數(shù)，一個負數(shù)有一個負的立方根，零的立方根有一個是零.
[生]它們的表示方法和讀法不同，一個正數(shù)a的平方根表示為±，立方根表示為. 下面我再系統(tǒng)地總結(jié)一下： 平方根與立方根的聯(lián)系與區(qū)別.
聯(lián)系：
(1)0的平方根、立方根都有一個是0.
(2)平方根、立方根都是開方的結(jié)
區(qū)別：
(1)定義不同：“如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根”;“如果一個數(shù)的立方等于a，這個數(shù)就叫做a的立方根.”
(2)個數(shù)不同：一個正數(shù)有兩個平方根，一個正數(shù)有一個立方根;一個負數(shù)沒有平方根，一個負數(shù)有一個立方根.
(3)表示法不同 正數(shù)a的平方根表示為±，a的立方根表示為.
(4)被開方數(shù)的取值范圍不同 ±中的被開方數(shù)a是非負數(shù);中的被開方數(shù)可以是任何數(shù).
2.例題講解
[例1]求下列各數(shù)的立方根：
(1)-27;(2);(3)0.216;(4)-5. [師]請大家思考下列問題. 表示a的立方根，則()3等于什么?等于什么? 大家可以先舉例后找規(guī)律.： ()3=a. 又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以=a.下面就這兩個式子進行練習. [例2]求下列各式的值： (1);(2);(3)-;(4)()3
Ⅲ.課堂練習 (一)隨堂練習
1.求下列各式的值：
2.一個正方體，它的體積是棱長為3厘米的正方體體積的8倍，這個正方體的棱長是多少? 解：設(shè)正方體的棱長是x厘米，得
(二)補充練習
1.求下列各數(shù)的立方根： 0，1，-，6，-，0.001
2.求下列各式的值：
3.下列說法對不對? -4沒有立方根;1的立方根是±1;的立方根是;-5的立方根是-;64的算術(shù)平方根是 Ⅳ.議一議 1.某化工廠使用一種球形儲氣罐儲藏氣體.現(xiàn)在要造一個新的球形儲氣罐，如果它的體積是原來的8倍，那么它的半徑是原儲氣罐半徑的多少倍?
2.一個正方體的體積變?yōu)樵瓉淼膎倍，它的棱長變?yōu)樵瓉淼亩嗌俦?
解：設(shè)原正方體的棱長為a，后來的正方體的棱長為b，得 na3=b3∴ ∴b=. 即后來的棱長變?yōu)樵瓉淼谋? Ⅴ.課時小結(jié)
1.立方根的定義
2.立方根的性質(zhì).
3.開立方的定義
4.平方根與立方根的區(qū)別與聯(lián)系
5.會求一個數(shù)的立方根.
Ⅵ.課后作業(yè)
習題2.5. Ⅶ.活動與探究
1.求下列各式中的x. (1)8x3+27=0;(2)(x-1)3-0.343=0;(3)81(x+1)4=16;(4)32x5-1=0.
板書設(shè)計：
§2.3 立方根
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