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函數(shù)的應用數(shù)學教學設計
(一)學習目標
1.知識目標：能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式，應用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題，初步掌握數(shù)學建模的一般步驟和方法.
2.能力目標：通過具體實例，感受運用函數(shù)建立模型的過程和方法，體會一次函數(shù)、二次函數(shù)模型在數(shù)學和其他學科中的重要性，初步樹立函數(shù)的觀點.
3.情感目標：了解數(shù)學知識來源于生活，又服務于實際，從而培養(yǎng)學生的應用意識.
(二)重點難點
教學重點：運用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題.
教學難點：增強運用函數(shù)思想理解和處理問題的意識，理解數(shù)學建模中將實際問題抽象、轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的一般方法.
(三)教學內(nèi)容安排
1.復習一次、二次函數(shù)的有關(guān)知識
2.創(chuàng)設情景，揭示課題
引例：大約在一千五百年前，大數(shù)學家孫子在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一道題：“今有雛兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雛兔各幾何?”這四句的意思就是：有若干只有幾只雞和兔?你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎?你有什么更好的方法?老師介紹孫子的大膽解法：他假設砍去每只雞和兔一半的腳，則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”. 這樣，“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數(shù)量與它們頭的數(shù)量之差，就是兔子數(shù)，即：47-35=12;雞數(shù)就是：35-12=23.
此例激發(fā)學生學習興趣，增強其求知欲望.
可引導學生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題.
3.結(jié)合實例，探求新知
例1 某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km，火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系，并求出離開北京2h時火車行駛的路程.
探索：
1)本例所涉及的變量有哪些?它們的取值范圍怎樣;
2)變式思考：試寫出火車勻速行駛的路程y與火車行駛的時間x之間的函數(shù)關(guān)系
3)所涉及的變量的關(guān)系如何?
4)寫出本例的解答過程.
老師提示：路程S和自變量t的取值范圍(即函數(shù)的定義域)，注意t的實際意義.
學生獨立思考，完成解答，并相互討論、交流、評析.
說明：本例是一次函數(shù)模型的例子，在審題中重點是理解各變量的含義及相互間的依賴關(guān)系，難點是求自變量t的取值范圍.可設一次函數(shù)為，使用待定系數(shù)法求解.對于第二問，我們可以引導學生體會函數(shù)與方程，一般與特殊的關(guān)系，加深對函數(shù)本質(zhì)的理解.
例2 某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿.公司欲提高檔次，并提高租金.如果每間客房每日增加2元，客房出租數(shù)就會減少10間.若不考慮其它因素，旅游公司將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高?
引導學生探索過程如下：
1)本例涉及到哪些數(shù)量關(guān)系?
2)應如何選取變量，其取值范圍又如何?
3)應當選取何種函數(shù)模型來描述變量的關(guān)系?
4)“總收入最高”的數(shù)學含義如何理解?
根據(jù)老師的引導啟發(fā)，學生自主，建立恰當?shù)暮瘮?shù)模型，進行解答，然后交流、進行評析.
[略解：]
設客房日租金每間提高2元，則每天客房出租數(shù)為300-10，由>0，且300-10>0得：0<<30設客房租金總上收入元，則有：=(20+2)(300-10)=-20(-10)2 + 8000(0<<30)由二次函數(shù)性質(zhì)可知當=10時，=8000.
所以當每間客房日租金提高到20+10×2=40元時，客戶租金總收入最高，為每天8000元.
課堂練習
1、要建一個容積為8m3，深為2m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價每平方米分別為120元和80元，試求應當怎樣設計，才能使水池總造價最低?并求此最低造價.
2.如圖，把截面半徑為25cm的圓形木頭鋸成矩形木料，如果矩形一邊長為x，面積為y試將y表示成x的函數(shù)，并畫出函數(shù)的大致圖象，并判斷怎樣鋸才能使得截面面積最大?
例3 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖1的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖2的拋物線表示。
(1)寫出圖1表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式;寫出圖2表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式。
(2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大?
(注：市場售價和種植成本的單位：元/百千克，時間單位：天)
解：由圖1可得市場售價與時間t的函數(shù)關(guān)系：，由圖2可得種植成本與時間t的函數(shù)關(guān)系：，由上消去t得Q與P的對應關(guān)系式：因為認定市場售價P與種植成本Q之差為純收益，所以當 且 時，;由二次函數(shù)性質(zhì)可知當P=250時，t=50，此時P-Q取得最大值100;當 且時，;由二次函數(shù)性質(zhì)可知當P=300時，t=300，此時P-Q取得最大值87.5.因為100>87.5，所以當t=50時，P-Q取得最大值100，即從二月一日起的第50天上市的西紅柿收益最大。
4.歸納整理，發(fā)展思維.
引導學生共同小結(jié)，歸納一般的應用題的求解方法步驟：
1)合理選取變量，建立實際問題中的變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而將實際問題轉(zhuǎn)化為
函數(shù)模型問題：
2)運用所學知識研究函數(shù)問題得到函數(shù)問題的解答;
3)將函數(shù)問題的解翻譯或解釋成實際問題的解;
4)在將實際問題向數(shù)學問題的轉(zhuǎn)化過程中，能畫圖的要畫圖，可借助于圖形的直觀性，研究兩變量間的聯(lián)系. 抽象出數(shù)學模型時，注意實際問題對變量范圍的限制.
5.布置作業(yè)
作業(yè)：教材P68習題2.3(A組)第3 、4、5題：習題2.3(B組)第1、2題
(四)教學資源建議
教師教學用書
(五)教學方法與學習指導策略建議
函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學模型，因此函數(shù)的應用是學習函數(shù)的主要目的之一.本節(jié)課學習一次和二次函數(shù)模型的應用，讓學生在熟悉的知識背景下理解用函數(shù)的思想分析問題、解決問題的方法，初步掌握建立數(shù)學模型的一般步驟，為第二次學習函數(shù)的應用打好基礎(chǔ).教材這樣處理既符合學生的認知規(guī)律又體現(xiàn)了螺旋式上升的設計理念.在函數(shù)應用的教學中，學生通過動手操作、模仿，參與解決實際問題，體驗從實際問題中抽象出數(shù)學關(guān)系的方法，從而感受函數(shù)的應用價值，增強數(shù)學應用的意識;學生在體驗數(shù)學與日常生活和其它學科領(lǐng)域的聯(lián)系中樹立起正確的世界觀;數(shù)學建�；顒樱诩ぐl(fā)學生學習數(shù)學的興趣，發(fā)展學生創(chuàng)新精神和實踐能力方面起到重要的作用.結(jié)合本節(jié)內(nèi)容的學習，使學生形成用函數(shù)思考問題的習慣.總之，對于函數(shù)應用的教學主要是培養(yǎng)學生數(shù)學應用的意識，用函數(shù)模型刻畫客觀世界的規(guī)律的能力.關(guān)鍵在模型的建立中要合理選擇變量和尋求變量間的依賴關(guān)系，掌握數(shù)學建模的一般方法.
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