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求和問(wèn)題的解決方法
在各個(gè)領(lǐng)域,我們需要用到練習(xí)題的情況非常的多,只有多做題,學(xué)習(xí)成績(jī)才能提上來(lái)。學(xué)習(xí)就是一個(gè)反復(fù)反復(fù)再反復(fù)的過(guò)程,多做題。一份好的習(xí)題都是什么樣子的呢?下面是小編為大家收集的求和問(wèn)題的解決方法,希望能夠幫助到大家。
求和問(wèn)題的解決方法:
[問(wèn)題情景]
學(xué)校組織看電影了,求和問(wèn)題的解決。數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們留心觀察影劇院的座位排數(shù)和每排座位數(shù),并要求算出影劇院共有多少個(gè)座位。第二天,同學(xué)們先把觀察到的情況向老師匯報(bào)如下:這個(gè)影劇院第一排有22個(gè)座位,每排的后一排都比前一排多2個(gè)座位,最后一排有68?jìng)(gè)座位,共24排。老師聽(tīng)后,問(wèn):你們算出了這個(gè)影劇院共有多少個(gè)座位嗎?同學(xué)們講出了各自的解答。但,老師對(duì)同學(xué)們的解答并不滿意,因?yàn)樗麄兊慕獯饚缀跸嗤驾^繁鎖。
。蹎(wèn)題詮釋]
要計(jì)算共有多少個(gè)座位,也就是求這樣一列數(shù)“22,24,26,28……64,66,68”之和。若從22開(kāi)始一個(gè)接一個(gè)相加求和,就顯得繁鎖,但仔細(xì)分析這列數(shù),它有一個(gè)明顯的特點(diǎn):從第二個(gè)數(shù)起,后一個(gè)數(shù)減去前一個(gè)數(shù)的差都是2,根據(jù)這列數(shù)的排列特點(diǎn),在求它們的和時(shí),應(yīng)用加法交換律和結(jié)合律,容易發(fā)現(xiàn):22+68=24+66=26+64=28+62=……=90,即第一個(gè)數(shù)加最后一個(gè)數(shù),第二個(gè)數(shù)加倒數(shù)第二個(gè)數(shù),第三個(gè)數(shù)加倒數(shù)第三個(gè)數(shù),……,和都等于90,數(shù)學(xué)論文《求和問(wèn)題的解決》。這24個(gè)數(shù)相加,有多少個(gè)90呢?很顯然有12個(gè)。所以22+24+26+……+64+66+68=90×12=1080就是說(shuō),利用這種方法計(jì)算,很快就能知道這個(gè)影劇院共有1080個(gè)座位。
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上述一列數(shù)中,第一個(gè)數(shù)稱為首項(xiàng),第二個(gè)數(shù)稱為第二項(xiàng),依此類推,最后一個(gè)數(shù)稱為末項(xiàng),這列數(shù)一共有24項(xiàng)。如果一列數(shù),從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)定數(shù)(這一個(gè)定數(shù)叫做公差),那么,這樣一列數(shù)的和,可以用“(首項(xiàng)+末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷公差”來(lái)求出,且計(jì)算簡(jiǎn)潔準(zhǔn)確。
。蹎(wèn)題解決]
小明為測(cè)量一座高樓的高度,他站在高樓的頂上,讓一物體從他的腳邊自由掉下,后測(cè)得物體第一秒鐘落下4.9米,以后每秒多落下9.8米,經(jīng)過(guò)10秒鐘到達(dá)地面。這座高樓共有多高?分析:根據(jù)題意,可知:
第一秒落下:4.9=4.9+9.8×(1-1)
第二秒落下:4.9+9.8=4.9+9.8×(2-1)
第三秒落下:4.9+9.8+9.8=4.9+9.8×(3-1)
……
第10秒落下:4.9+9.8×(10-1)=93.1
所以,這座樓的高為(4.9+93.1)×10÷2=490(米)
數(shù)列求和公式方法總結(jié):
一、分組轉(zhuǎn)化求和法
若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列構(gòu)成,則求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn時(shí)可以用分組求和法求解。一般步驟是:拆裂通項(xiàng)――重新分組――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)的和
解由和式可知,式中第n項(xiàng)為an=n(3n+1)=3n2+n
∴Sn=1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)
=(3×12+1)+(3×22+2)+(3×32+3)+…+(3n2+n)
=3(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…+n)
=3×16n(n+1)(2n+1)+n(n+1)2
=n(n+1)2
二、奇偶分析求和法
求一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,如果需要對(duì)n進(jìn)行奇偶性討論或?qū)⑵鏀?shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分組求和再求解,這種方法稱為奇偶分析法。
例2:求和:Sn=-1+3-5+7-9+11-…+(-1)n(2n-1)
分析:觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式an=(-1)n(2n-1)可知Sn與數(shù)列項(xiàng)數(shù)n的奇偶性有關(guān),故利用奇偶分析法及分組求和法求解,也可以在奇偶分析法的基礎(chǔ)上利用并項(xiàng)求和法求的結(jié)果。
解:當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+(-1)n(2n-1)
=-(1+5+9+…+2n-3)+(3+7+11+…+2n-1)
=-n2(1+2n-3)2+n2(3+2n-1)2
=-n2-n2+n2+n2=n
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+(-1)n(2n-1)
=-(1+5+9+…+2n-3)+(3+7+11+…+2n-1)
=-n+12(1+2n-1)2+n-12(3+2n-3)2
=-n2+n2+n2-n2=-n
綜上所述,Sn=(-1)nn
三、并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn中,某些項(xiàng)合在一起就具有特殊的性質(zhì),因此可以幾項(xiàng)結(jié)合求和,再求Sn,稱之為并項(xiàng)求和法。形如an=(-1)nf(n)的類型,就可以采用相鄰兩項(xiàng)合并求解。如例3中可用并項(xiàng)求和法求解。
例3:求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=(-12+22)+(-32+42)+…+(-992+1002)
=(1+2)+(3+4)+…+(99+100)=5050
四、基本公式法
如果一個(gè)數(shù)列是符合以下某種形式,如等差、等比數(shù)列或通項(xiàng)為自然數(shù)的平方、立方的,那么可以直接利用以下數(shù)列求和的公式求和。
常用公式有
。1)等差數(shù)列求和公式:Sn=na1+n(n-1)2d=n(a1+an)2
。2)等比數(shù)列求和公式:Sn=na1a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q(q=1)(q≠1)
。3)1+2+3+…+n=n(n+1)2
。4)1+3+5+…+2n-1=n2
。5)2+4+6+…+2n=n(n+1)
(6)12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)
。7)13+23+33+…+n3=14n2(n+1)2
例1:已知等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an=12n-1,設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和,求Sn。
解:∵an=12n-1∴a1=1,q=12
∴Sn=1+12+14+…+12n-1=1(1-12n)1-12=2-12n-1
五、裂項(xiàng)相消法
如果一個(gè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式能拆分成兩項(xiàng)差的形式,并且相加過(guò)程中可以互相抵消至只剩下有限項(xiàng)時(shí),這時(shí)只需求有限項(xiàng)的和,把這種求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的方法叫做裂項(xiàng)相消法。
裂項(xiàng)相消法中常用的拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化公式有:
。1)1n(n+1)=1n-1n+1,1n(n+k)=1k(1n-1n+k)
。2)1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
(3)1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)]
。4)1n+n+1=n+1-n,1n+n+k=1k(n+k-n),
其中n∈N,k∈R且k≠0
例5:求數(shù)列1,11+2,11+2+3,…,11+2+3+…+n,…的前n和Sn。
解由題知,an=11+2+3+…+n=2n(n+1)=2(1n-1n+1)
∴Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2(1-12)+2(12-13)+2(13-14)+…+2(1n-1n+1)
=2(1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)
=2(1-1n+1)=2nn+1
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